Как будет проводиться экзамен?

Экзамены будут проводиться в форме устного ответа по билетам. При подготовке к ответу по билету разрешается пользоваться учебниками и конспектами лекций. В билет входят один вопрос и одна задача. 

Список экзаменационных вопросов по курсу «Общая геометрия и топология»

 

 

1.      Топологические пространства, индуцированная топология, топология декартова произведения, топология несвязной суммы, фактор-топология, склейки из квадрата как примеры фактор-топологии. 

2.      Непрерывные отображения,   гомеоморфизм.

3.      Связность, связные компоненты, теорема о связности отрезка, непрерывная кривая в топологическом пространстве, линейная связность, теорема о связности линейно связного пространства.

4.      Компактность, теорема об образе компактного пространства.

5.      Многообразия, карты, атласы, отображения склейки, гладкие многообразия, примеры гладких многообразий.

6.      Гладкие функции на многообразиях,  гладкие отображения гладких многообразий, диффеоморфизмы.

7.      Определения касательного вектора, теорема об их эквивалентности. Дифференциал отображения, погружения и вложения.

8.      Локально тривиальные расслоения. Векторные расслоения.

9.      Касательное расслоение.

10.  Кокасательное расслоение.

11.  Внешние дифференциальные формы. Внешнее умножение форм.  Внешнее дифференцирование внешних форм. Замкнутые и точные формы.  Группы когомологий. Примеры вычисления.

12.  Цепи и группы гомологий.

13.  Векторные поля и замкнутые, точные формы на плоскости и в пространстве. Бездивергентные, потенциальные, безвихревые и соленоидальные векторные поля, их связь с дифференциальными формами. Лемма Пуанкаре для случая плоскости.

14.  Интеграл внешней формы по многообразию. Формулировка теоремы Стокса.

15.  Частные случаи формулы Стокса на плоскости и в трехмерном пространстве (Грин, Стокс, Остроградский--Гаусс, теорема о вычетах).

 

Список экзаменационных вопросов по курсу «Дифференциальные уравнения»

 

1.  Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы.  Понятие решения.  Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка выше первого и их сведение к системам первого порядка.
2.  Сжимающие отображения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
3. Теорема о непрерывной зависимости решения от параметров и начальных условий.
4. Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Пространство решений. Фундаментальная система решений.
5. Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.  Характеристическое уравнение. Разложение фазового пространства в прямую сумму инвариантных подпространств. Общее решение.
6. Линейное однородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами.
7. Линейные неоднородные системы уравнений с  постоянными коэффициентами: частное решение  системы с правой частью в виде квазимногочлена.
8. Линейные неоднородные системы уравнений с  постоянными коэффициентами: метод вариации постоянных.
9. Линейные системы с переменными коэффициентами: пространство решений однородной системы, фундаментальная система решений, фундаментальная матрица, определитель Вронского, формула Лиувилля–Остроградского.
10. Уравнение Гамильтона–Якоби, система Гамильтона и решение задачи Коши для нестационарного уравнения Гамильтона–Якоби.
11. Линейные однородные уравнения второго порядка. Осцилляция решений. Теоремы сравнения Штурма.
12. Задача Штурма–Лиувилля и теорема о ее собственных значениях. 
13. Метод ВКБ для одномерного уравнения Шредингера.
14. Асимптотическое вычисление собственных значений (на примере гармонического осциллятора).